ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108052
Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Куланин Е.

Дана фиксированная хорда MN окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра AB этой окружности, не проходящего через точки M и N, рассмотрим точку C, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведём через неё прямую l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.


Решение

Пусть O – центр нашей окружности Ω, D – точка пересечения AN и BM. Поскольку из точек M и N диаметр AB виден под прямым углом, то AN и BM – высоты треугольника ABC, а D – его ортоцентр. Следовательно,  CDAB.  Значит, CD – одна из прямых l. Рассмотрим окружность девяти точек треугольника ABC. Как известно, середина P отрезка CD диаметрально противоположна середине O стороны AB, то есть прямая l проходит через точку P пересечения касательных, проведенных к окружности Ω в точках M и N.

Замечания

1. 5 баллов.

2. В несколько другой формулировке задача предлагалась в Задачнике "Кванта" (задача М1276).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4332
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .