Задача 108048
|
|
 |
Условие
Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, r и r извне касается двух других.
При каких значениях r существует треугольник, описанный около этих окружностей?
Решение
Допустимые значения r ограничены значениями rmin и rmax "крайних" случаев, показанных на рисунках.
Очевидно, что rmin = ½. Найдём rmax. Пусть окружности радиусов r, 1 и r касаются некоторой прямой (рис. справа). Тогда (r + 1)² = (r – 1)² + r², откуда
r² = 4r, то есть r = 4.
Ответ
½ < r < 4.
Замечания
3 балла
