|
|
 |
Условие
В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.
Решение
Обозначим через M и N точки пересечения соответственно прямых CP и CQ с прямой AB, а через K – точку пересечения прямой PQ с CD (см. рис.).
Тогда DC : AM = DP : AP = DK : AH, а DC : BN = DQ : BQ = DK : BH. Поскольку AH = BH, то AM = BN. Нетрудно проверить, что обе точки M и N лежат либо внутри, либо вне отрезка AB. Значит, треугольники ACM и BCN равны, то есть ∠ACM = ∠BCN. Осталось заметить, что углы ACP и BCQ либо совпадают с углами ACM и BCN, либо дополняют их до 180°.
Замечания
1. См. также решения Задачника "Кванта", где приведено решение с выходом в пространство.
2. 10 баллов.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4323 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 1989/1990 |
| Номер | 11 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
| Задача | |
| Номер | 4 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1990 |
| выпуск | |
| Номер | 7 |
| Задача | |
| Номер | М1233 |
