ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108020
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат ABCD и окружность $ \Omega$ пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL — дуги окружности). Докажите, что

а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;

б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.


Подсказка

Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, параллельных соседним сторонам квадрата.


Решение

а) Проведём два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, параллельных сторонам AB и BC квадрата. Эти диаметры делят дуги окружности, лежащие вне квадрата, пополам, т.к. они делят пополам хорды, стягивающие эти дуги. Поэтому сумма дуг EF и IJ получается так: нужно из двух противоположных четвертей окружности выкинуть половинки дуг, лежащих вне квадрата. Точно так же для суммы дуг GH и KL.

б) Поскольку проведённые диаметры делят пополам хорды окружности, высекаемые на сторонах квадрата, то в каждой из пар вертикальных углов, образованных этими диаметрами, лежат отрезки, сумма длин которых равна половине периметра квадрата. Следовательно, суммы прямолинейных сторон соответствующих пар треугольников равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4299

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .