Информация о задаче

Задача 107834

Темы:	[	Четырехугольники (экстремальные свойства)	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.

Решение

Рассмотрим некоторый четырехугольник ABCD. Перенесем его на вектор $\overrightarrow{AC}$ (рис.). Получим четырехугольник A'B'C'D', где A' = C, а четырехугольник BB'D'D — параллелограмм, так как отрезки BD и B'D' параллельны и равны. Пусть A₀, B₀, C₀ и D₀ — середины отрезков BD, BB', B'D' и D'D соответственно.

Мы утверждаем, что A₀B₀C₀D₀ — параллелограмм, длины диагоналей которого равны длинам диагоналей четырехугольника ABCD, а угол между диагоналями равен углу между диагоналями четырехугольника ABCD. То,

$\epsfbox{1997/ol97102-1.mps}$

что A₀B₀C₀D₀ — параллелограмм, следует из того, что отрезки A₀B₀ и C₀D₀ — средние линии треугольников B'BD и B'D'D соответственно. Второе утверждение следует из того, что отрезки B₀D₀ и BD параллельны и равны также, как и отрезки A₀C₀ и AC.

Значит, осталось доказать, что периметр четырехугольника ABCD не меньше периметра параллелограмма A₀B₀C₀D₀. Но периметр параллелограмма равен B'D + BD' (по теореме о средней линии). По неравенству треугольника, BC + CD' $\ge$ BD' и B'C + CD $\ge$ B'D. Складывая эти неравенства, получаем нужное утверждение.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	10
задача
Номер	2