ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 107780
УсловиеПрямоугольник размером 1×k при всяком натуральном k будем называть полоской. При каких натуральных n прямоугольник размером 1995×n можно разрезать на попарно различные полоски?РешениеИдея решения: возьмем максимальную полоску (равную максимальной стороне прямоугольника). Остальные полоски будем объединять в пары, дающие в сумме максимальную полоску. Если мы заполнили прямоугольник, то задача решена; в противном случае рассуждение с площадями показывает, что прямоугольник нельзя разрезать на различные полоски.
Рассмотрим два случая: n
Случай n
1, 2,..., n - 1, 1996 - n,(1996 - n) + 1,..., 1994, 1995.
Ясно, что первые n - 1 полосок различны, остальные полоски тоже различны.
Однако, чтобы среди первых n - 1 полосок не
было полосок, равных одной из
остальных полосок, необходимо (и достаточно), чтобы
n - 1 < 1996 - n.
Это
неравенство выполняется, потому что n
Покажем, что при
998 < n
1 + 2 + 3 + ... + 1994 + 1995 =
(см. комментарий), а площадь прямоугольника равна 1995n. Значит, должно
выполняться неравенство:
1995n
но это означает, что nСлучай n > 1995 аналогичен. Разрежем прямоугольник на 1995 полосок длиной n. Первую сохраним, вторую разрежем на две полоски длиной 1 и n - 1 и т. д. Получатся полоски с длинами
1, 2,..., 1994, n - 1994,(n - 1994) + 1,..., n.
Они будут различными, если
1994 < n - 1994, т. е. n
1995n
Отсюда
n
Комментарии.
1o.
Прямоугольник n×m c n
2o. Мы воспользовались формулой
1 + 2 + ... + n =
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |