ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107760
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.


Решение

  Пусть x и y – искомые числа. По условию   3xy = 107x + y.

  Первый способ.  3y = 107 + y/x.  Поскольку  0 < y/x < 10, то 107 < 3y < 107 + 10. Следовательно,  3333333⅓ < y < 3333336⅔.  Значит,  y/x < 4,  то есть
107 + 1 ≤ 3y < 107 + 4.  Лишь одно число в этом интервале делится на 3: это  107 + 2.  Поэтому  y = 3333334,  x = 1666667.

  Второй способ.  107x = (3x – 1)y.  Поскольку x и  3x – 1  взаимно просты, то  3x – 1  – делитель 107. Но  3x – 1 ≥ 3·106 – 1,  поэтому  3x – 1 = 5·106.  Отсюда
x = 1666667,  y = 3333334.


Ответ

1666667 и 3333334.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 57
Год 1994
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .