Задача 107756
|
|
 |
Условие
Докажите, что уравнение x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ имеет бесконечное число решений в целых числах x, y, z.
Решение
Например: x = k(2k² + 1), y = 2k² + 1, z = – k(2k² + 1).
Замечания
Как додуматься до этих формул? Избавимся от двух кубов с помощью подстановки z = – x. Получим уравнение
2x² + y² = y³,
2x² = (y – 1)y². Если
½ (y – 1) = k² – точный квадрат, то решение найдётся: y = 2k² + 1, x = k(2k² + 1).
