Задача 107741
|
|
 |
Условие
Существует ли тетраэдр, все грани которого — равнобедренные треугольники, причём никакие два из них не равны?Решение
Допустим, такой тетраэдр ABCD существует. Заметим сначала, что из одной вершины не может выходить три равных ребра. Действительно, если АВ = АС = AD, то, так как среди отрезков ВС, BD и CD есть хотя бы два равных {ABCD — равнобедренный), то среди треугольников ABC, ABD, ACD есть хотя бы два равных.Далее заметим, что две соседние грани — равнобедренные треугольники, не могут иметь общее основание1. Действительно, если АВ = АС и DB = DC, то треугольники ADB и ADC равны.
Теперь заметим, что ни один из треугольников не может быть равносторонним. Действительно, если АВ = ВС = АС, то хотя бы одно из рёбер АВ, ВС, АС является основанием в обоих содержащих его треугольниках (почему?).
Далее, без ограничения общности можно считать, что АВ = АС, ВС = BD. Тогда, так как AD ≠ АВ, то AD = BD. Аналогично, DC = АВ. Следовательно, треугольники ABC и ACD равны.
Следовательно, такого тетраэдра не существует.
1 Сторону треугольника будем называть основанием в случае, если две другие стороны этого треугольника равны между собой; у равностороннего треугольника все стороны называются основаниями.
