Выбрано 6 задач 
Версия для печати
Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Решение
Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Решение
Решение
Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин? Решение
Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции? Решение
Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.
РешениеМожет ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?
РешениеИз точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
РешениеИмеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.
РешениеПоверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?
РешениеПетя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?
Решение
Задача 107702
|
|
|
Условие
Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?Решение
На рис. 1 показано, как отметить 7 клеток на трёх смежных гранях куба. На трёх "невидимых" гранях нужно отметить семь клеток, симметричных этим.Докажем теперь, что больше 14 клеток требуемым образом отметить невозможно. Сделаем это двумя способами.
Первый способ. Посчитаем общее количество вершин клеток кубика Рубика. Имеются 8 вершин самого кубика, ещё по две вершины на каждом из 12 рёбер и ещё по 4 вершины на каждой из 6 граней. Итого:
8 + 12*2 + 6*4 = 56 вершин.
Каждая из этих вершин принадлежит по условию не более, чем одной отмеченной клетке. Если бы отмеченных клеток было больше 14, то вершин было бы больше, чем 14*4 = 56, поскольку каждая клетка имеет 4 вершины. Значит, отмеченных клеток не более 14.
Второй способ. Разрежем поверхность кубика Рубика на части. Три смежные грани разрежем на 7 частей, как показано на рис. 2. Три другие грани разрежем на такие же 7 частей. Легко видеть, что любые две клетки, попавшие в одну часть имеют общую вершину. Поэтому в каждой части может находиться не более одной отмеченной клетки. Значит, всего может быть отмечено не более 14 клеток.
| Рис. 1 | Рис. 2 |
