ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107636
Темы:    [ Формула включения-исключения ]
[ Куб ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Куб со стороной 10 разбит на 1000 кубиков с ребром 1. В каждом кубике записано число, при этом сумма чисел в каждом столбике из 10 кубиков (в любом из трёх направлений) равна 0. В одном из кубиков (обозначим его через A) записана единица. Через кубик A проходит три слоя, параллельных граням куба (толщина каждого слоя равна 1). Найдите сумму всех чисел в кубиках, не лежащих в этих слоях.


Решение

Через заданный кубик A проходят один горизонтальный слой Г и два вертикальных слоя. Сумма всех чисел в 81 вертикальном столбике, не входящем в последние два слоя, равна 0. Из полученной суммы надо вычесть сумму S чисел, лежащих в кубиках, на пересечении этих столбиков с Г (таких кубиков 81). Эти кубики полностью покрываются девятью столбиками, лежащими в Г. Сумма всех чисел в этих столбиках (она равна 0) превышает S на сумму девяти чисел, лежащих в перпендикулярном им столбике, содержащем A. Последняя сумма очевидно равна – 1. Отсюда  S = 1.  Окончательно имеем:  0 – 1 = –1.


Ответ

–1.

Замечания

1. Знающие формулу включения-исключения легко могут найти ответ с её помощью:  0 – 3·0 + 3·0 – 1 = –1.

2. Ср. с задачей 98400.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 1998
Название конкурс по математике
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .