ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107634
Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

{a1, a2, ..., a20} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b0, b1, b2, ...} по следующему правилу:
b0 — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b1 — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b2 — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.

Решение

Рассмотрим следующую конструкцию. Возьмем набор кубиков и будем строить из них "башенки" — столбики высотой a1, a2, ..., an (смотрите рисунок). Посчитаем двумя способами, сколько кубиков нам для этого понадобится. Считая по столбцам получаем, что количество кубиков равно сумме чисел первого набора. Другой способ подсчета — по слоям. Количество кубиков в первом слое (стоящих на полу) равно b0 = n, в следующем слое — b1, и т. д., количество кубиков в i-м слое равно bi.
Поэтому общее число кубиков равно сумме чисел второго набора.
Значит, суммы чисел обоих наборов совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 1998
Название конкурс по математике
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .