|
|
 |
Условие
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
Решение 1
Из условия следует, что каждый из этих трёхчленов при x = 1000 принимает положительное значение. Следовательно, и их сумма f в этой точке положительна. График трёхчлена f также располагается ветвями вверх. Пусть один из его корней больше 1000, а другой – меньше 1000. Тогда число 1000 располагается между корнями, то есть f(1000) < 0 . Противоречие.
Решение 2
Параллельно перенесём графики данных трёхчленов на 1000 влево. Это эквивалентно замене в условии задачи 1000 на 0. Получим приведённые трёхчлены: x² + p1x + q1 с отрицательными корнями и x² + p2x + q2 с положительными корнями. По теореме Виета q1 > 0 и q2 > 0. Сумма этих трёхчленов равна 2x² + (p1 + p2)x + (q1 + q2), где q1 + q2 > 0, поэтому её корни одного знака.
Ответ
Не может.
