Задача 105161

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Обратные тригонометрические функции ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Чеботарев А.С.

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f₁(x),  f₂(x), ...,  f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P₁(x) =  f₂(f₁(f₂(x))))?

Решение

Пусть, например,  f(x) = π + arctg x,  g(x) = x + π,  h(x)  – функция, которая на интервале  (– ^π/₂ + πn, ^π/₂ + πn)  равна P_n(tg x) (см. рис.). Тогда
P_n(x) = h(g(g(...(g(f(x)))...)))  (функция g используется  n – 1  раз).

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	10
задача
Номер	6