ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105152
Тема:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В магазине три этажа, перемещаться между которыми можно только на лифте. Исследование посещаемости этажей магазина показало, что с начала рабочего дня и до закрытия магазина:
  1) из покупателей, входящих в лифт на втором этаже, половина едет на первый этаж, а половина – на третий;
  2) среди покупателей, выходящих из лифта, меньше трети делает это на третьем этаже.
На какой этаж покупатели чаще ездили с первого этажа, на второй или на третий?


Решение 1

  Предположим, что за весь день на первом этаже в лифт вошло x покупателей, на втором – y, на третьем – z. Заметим, что количество покупателей, вышедших из лифта на каждом из этажей, равно количеству покупателей, вошедших на этом же этаже.
  По условию, из покупателей, вошедших на втором этаже, половина едет вниз, а половина – вверх. Значит, со второго этажа на третий едет y/2 покупателей, и столько же со второго на первый. Второе условие можно записать так:  z < ⅓ (x + y + z).  Это равносильно тому, что  2z < x + y.
  С первого этажа на третий было совершено  z – y/2  поездок, так как всего на третьем этаже вышли из лифта z человек, а  y/2 из них приехали со второго этажа. А с первого на второй поднимались те покупатели, входившие в лифт на первом этаже, кто не ехал на третий, то есть их было  x – (z – y/2).  Нам нужно сравнить эти два выражения. Но неравенство  z – y/2 < x – (z – y/2)  равносильно уже доказанному неравенству  2z < x + y.  Тем самым мы доказали, что с первого этажа на третий за этот день приехало меньше покупателей, чем с первого на второй.


Решение 2

  Все поездки разобьём на три группы: поездки на третий этаж, поездки с третьего этажа и поездки между первым и вторым этажом. По условию первая группа составляет менее трети всех поездок. С другой стороны, она количественно равна второй, так как число покупателей, приехавших на третий этаж равно числу уехавших с него. Значит, последняя группа больше первой.
  Вычтем из третьей и первой групп равные количества поездок: из третьей – поездки со второго этажа на первый, а из первой – со второго на третий. В результате получим, что поездок с первого этажа на второй больше, чем с первого на третий.


Ответ

С первого на второй.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .