Задача 105127

Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.

Решение

  Первый способ. Согласно неравенству треугольника  a > c – b.  Поэтому  a³ + b³ + 3abc – c³ > (c – b)³ + b³ + 3(c – b)bc – c³ = 0.

  Второй способ. Согласно неравенству треугольника  a + b > c.  Кроме того,  a² – ab + b² > 0.  Поэтому
 a³ + b³ + 3abc = (a + b)(a² – ab + b²) + 3abc > c(a² – ab + b²) + 3abc = c(a + b)² > c².

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	9
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1