ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 104121
Темы:    [ Наглядная геометрия ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).

  а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
  б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
  в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.


Решение

  в) Всего данные точки образуют 20 квадратов: 9 со стороной 1, 4 со стороной 2, 1 со стороной 3, 4 со стороной     и 2 со стороной     Обозначим точки буквами (рис. 1) и подсчитаем вершиной скольких квадратов является каждая точка (рис. 2).

  FGJK – квадрат, поэтому одна из его вершин стерта. Можно считать, что это F. В результате "разрушено" 6 квадратов. На рис. 3 указано по сколько квадратов осталось "сидеть" на каждой точке.
  GLOJ – квадрат, поэтому одна из его вершин стерта. Можно считать, что это G или L.
  В первом случае "разрушено" ещё 4 квадрата. Осталось 10. Но на каждой из оставшихся точек "сидит" не больше трёх из оставшихся квадратов (рис. 4). Поэтому нужно стереть ещё по крайней мере 4 точки.
  Во втором случае "разрушено" ещё 5 квадратов. Осталось 9. Если мы хотим стереть ещё только 3 точки, то на каждой из них должно "сидеть" по 3 квадрата, и все эти 9 квадратов должны быть различны. Но нетрудно проверить, что какие бы три из шести "трёхквадратных" точек мы не взяли (рис. 5), найдутся две из них, являющихся вершинами одного квадрата. Поэтому и в этом случае придется стереть ещё 4 точки.


Ответ

а) Например, см. рис. слева.   б) Например, см. рис. справа.   в) 6 точек.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название ВМШ 57 школы
класс
Класс 7
год
Место проведения 57 школа
Год 2005/06
занятие
Название Нитки, ножницы, ластик
Тема Наглядная геометрия
Номер 16
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .