ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 104115
Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма трёх положительных углов равна 90o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

Решение

Пусть  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90o, все они меньше 90o. Следовательно, cos$ \gamma$ = cos(90o - $ \alpha$ - $ \beta$) = sin($ \alpha$ + $ \beta$) = sin$ \alpha$cos$ \beta$ + cos$ \alpha$sin$ \beta$ < cos$ \beta$ + cos$ \alpha$, а значит  cos$ \gamma$ $ \neq$ cos$ \alpha$ + cos$ \beta$.

Другое решение. Пусть $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ -- углы, удовлетворяющие условию задачи, и cos$ \alpha$+cos$ \beta$=cos$ \gamma$. Это равносильно выполнению равенства: sin(90o-$ \alpha$)+sin(90o-$ \beta$)=sin(90o-$ \gamma$).

Заметим, что углы (90o-$ \alpha$), (90o-$ \beta$) и (90o-$ \gamma$) также положительные (иначе какой-нибудь из углов $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ должен быть не меньше 90o, что противоречит условию), а их сумма равна 180o. Следовательно, существует треугольник с такими углами. Умножим обе части полученного равенства на 2R, где R -- радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда для сторон треугольника выполняется равенство а+b=c, что невозможно.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Дата 2005
Номер 28
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .