В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На столе лежит кубик, на его верхней стороне нарисована картинка. Кубик несколько раз перекатывали по столу через ребро, после чего он вновь оказался на прежнем месте. Могло ли оказаться, что картинка повернута а)на 180 градусов по сравнению с исходным положением; б) на 90 градусов?

Решение

а) Могло. Для этого надо прокатить кубик так, как показано на рисунке.

б) Не могло. Чтобы это доказать, впишем в куб тетраэдр. Будем смотреть за положением его ребра, находящегося на верхней грани куба. Возможны два положения: "из верхней левой вершины в нижнюю правую" и "из верхней правой вершины в нижнюю левую". При каждом перекатывании положение верхнего ребра меняется. Ясно, что когда кубик вернется в исходную позицию, то положение ребра останется таким же, каким было в начале. А значит, при этом картинка не могла повернуться на 90 градусов.

Источники и прецеденты использования