ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103880
Темы:    [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение – 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера спорта
  а) 7 участников;
  б) 8 участников?


Подсказка

Подсчитайте, сколько очков набрали в сумме игроки, получившие звание мастера спорта.


Решение

  а) Пусть 7 участников выиграли все партии у пяти оставшихся, а все партии между собой завершили вничью. Тогда каждый из них набрал по
5 + 0,5·6 = 8  очков, что больше чем  0,7·11 = 7,7  требуемых очков.

  б) Пусть получивших звание мастера было не менеее 8. Отметим 8 из них. Каждый отмеченный набрал не менее 7,7, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не 64 очков. С другой стороны, в партиях с неотмеченными четырьмя участниками, каждый из отмеченных набрал не более 4 очков. Это даёт не более 32 очков.
  Значит, отмеченные участники набрали в партиях между собой не менее 32 очков. Но они сыграли между собой только 28 партий. Противоречие.


Ответ

а)  Могли;   б)  не могли.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2002
класс
1
Класс 7
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .