ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103767
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4-
Классы: 7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В спортклубе тренируются 100 толстяков весом от 1 до 100 кг. На какое наименьшее число команд их можно разделить так, чтобы ни в одной команде не было двух толстяков, один из которых весит вдвое больше другого?


Подсказка

Рассмотрите все пары толстяков, которые не должны оказаться в одной команде. Кроме того, можно считать, что все 100 толстяков разного веса.


Решение

Заметим, что наличие толстяков одинакового веса только упрощает задачу. Действительно, с каждым толстяком можно поместить в команду всех толстяков того же веса. При этом условие задачи по-прежнему будет выполнено. Значит, можно считать, что все 100 толстяков разного веса.

В частности, у каждого толстяка есть не более чем один товарищ, который вдвое легче него, и не более чем один, который вдвое тяжелее него.

Теперь заставим наших толстяков взяться за руки: каждый из них подаст левую руку тому, который вдвое тяжелее него (если такой есть), а правую — тому, который вдвое легче него (если такой есть).

Получится, что вся сотня разобьётся на непересекающиеся ''цепочки''. Причём в каждой цепочке самый правый — это самый лёгкий, а самый левый — это самый тяжёлый.

Раскрасим каждую цепочку в два цвета в шахматном порядке, начиная с самого лёгкого. Теперь сформируем две искомые команды по ''цветному'' признаку.


Ответ

На две команды.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 1993
класс
1
Класс 5,6
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .