Даны два набора чисел: a₁, ..., a_n и b₁, ..., b_n. Расположим числа a_k в возрастающем порядке, а числа b_k – в убывающем порядке. Получатся наборы
A₁ ≤ ... ≤ A_n,  B₁ ≥ ... ≥ B_n.  Доказать, что  max{a₁ + b₁, ..., a_n + b_n} ≥ max{A₁ + B₁, ..., A_n + B_n}.

   Решение

Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

   Решение

Тема:    [ Текстовые задачи ]

Сложность: 2 Классы: 5

Прислать комментарий

Условие

Чук и Гек наряжали елку. Чтобы они не подрались, мама выделила каждому из них по одинаковому числу веточек и по одинаковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хватило для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как Вы думаете, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?

Подсказка

Попробуйте поступить как Чук — повесить на каждую ветку по одной игрушке.

Решение

Попробуем поступить, как Чук — повесим на каждую ветку по одной игрушке, тогда одна игрушка останется лишней. Теперь возьмем две игрушки — одну, оставшуюся лишней, а другую снимем с одной из веток. Если теперь эти игрушки повесить вторыми на те ветки, на которых остались игрушки от первого раза. Тогда на двух ветках будут висеть игрушки, и одна ветка останется пустой. Если бы кроме этих трех веток, были бы еще ветки, то на этих «лишних» ветках висело бы по одной игрушке, что противоречит условию. Таким образом, веток было 3, а игрушек, соответственно, 4.

Источники и прецеденты использования