Задача 102862

Тема:    [ Ребусы ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Умножение чисел. Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова.

Решение

Обратите внимание на последнюю фразу. Перепишем пример в следующем виде

Очевидно, x₄ = x₈ = x₁₅, x₁₁ = 2. Кроме того, ясно, что x₁ = 1 или x₁ = 2, иначе 2x₁ больше 5, что противоречит условию.
1) Пусть x₁ = 1, тогда x₉ = 2, x₅ = 3, тогда удвоенное множимое находится в интервале от 3402 до 3492, или множимое находится между 1701 и 1746. Проверим три возможных варианта, учитывая, что сумма цифр у обоих множителей одинаковая. 1701 × 27, 1711 × 28, 1721 × 29 убеждаемся, что ни один вариант не подходит.
2) Пусть x₁ = 2. Тогда x₉ = 4, x₅ = 1, x₂ = 2, при этом x₆ ≤ 5, иначе x₆ + 4 > 9, что противоречит условию, но тогда 5 ≤ x₄ ≤ 7. Проверяя три возможных варианта 2221 × 25, 2231 × 26, 2241 × 27, получим, что только второй случай подходит.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	26
задача
Номер	26.2