Задача 102804

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Условие

Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся два, разность которых делится на десять.

Решение

Числа при делении на 10 могут давать десять остатков от 0 до 9. Так как дано 11 чисел, то обязательно существует, по крайней мере, два числа (можно использовать признак Дирихле), имеющие равные остатки — эти числа имеют вид a = 10k + r и b = 10n + r, тогда a − b = 10 (k − n).

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	1
задача
Номер	1.6