Информация о задаче

Задача 102723

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Окружности (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(0;0), B(4;0) и C(0;6). Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение

Поскольку абсциссы точек A и C равны 0, эти точки лежат на прямой x = 0, т.е. на оси OY. Поскольку ординаты точек A и B равны 0, эти точки лежат на прямой y = 0, т.е. на оси OY. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, $\angle$ BAC = 90^o. Поэтому центр его описанной окружности совпадает с серединой M(x₀;y₀) гипотенузы BC, а радиус R равен половине гипотенузы.

По формулам для координат середины отрезка находим, что

x₀ = $\displaystyle {\frac{4+0}{2}}$ = 2, y₀ = $\displaystyle {\frac{0+6}{2}}$ = 3.

По формуле для расстояния между двумя точками

BC = $\displaystyle \sqrt{(0-4)^{2} + (6-0)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{52}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{13}$ .

Поэтому R = ${\frac{1}{2}}$ BC = $\sqrt{13}$ .

Следовательно, искомое уравение имеет вид

(x - 2)² + (y - 3)² = 13.

Ответ

(x - 2)² + (y - 3)² = 13.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4229