Информация о задаче

Задача 102708

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(- 2;1), B(2;5) и C(4; - 1). Точка D лежит на продолжении медианы AM за точку M, причём четырёхугольник ABDC — параллелограмм. Найдите координаты точки D.

Решение

Первый способ.

Координаты точки M(x₀;y₀) есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC, т.е.

x₀ = $\displaystyle {\frac{2+4}{2}}$ = 3, y₀ = $\displaystyle {\frac{5-1}{2}}$ = 2.

Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то M(x₀;y₀) — середина отрезка с концами в точках A(- 2;1) и D(x₁;y₁). Поэтому

x₀ = $\displaystyle {\frac{-2+x_{1}}{2}}$ = 3, y₀ = $\displaystyle {\frac{1+y_{1}}{2}}$ = 2.

Отсюда находим, что x₁ = 8, y₁ = 3.

Второй способ.

Пусть x₁, y₁ — координаты точки D. Если ABCD — параллелограмм, то $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AC}$ , а т.к.

$\displaystyle \overrightarrow{BD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(x_{1}-2;y_{1}-5)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4-(-2);-1-1)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(6;-2)}$ ,

то

x₁ - 2 = 6, y₁ - 5 = - 2.

Отсюда находим, что x₁ = 8, y₁ = 3.

Ответ

(8;3).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4214