ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102694
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD точка M лежит на стороне BC, а точка N — на стороне AB. Прямые AM и DN пересекаются в точке O.Найдите площадь квадрата, если известно, что DN = 4, AM = 3, а косинус угла DOA равен q.


Подсказка

Обозначьте

$\displaystyle \angle$AOD = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \angle$AMB = $\displaystyle \angle$DAM = $\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$ADN = $\displaystyle \gamma$

и составьте тригонометрическое уравнение относительно $ \gamma$.


Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Обозначим,

$\displaystyle \angle$AOD = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \angle$AMB = $\displaystyle \angle$DAM = $\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$ADN = $\displaystyle \gamma$.

Из прямоугольных треугольников ABM и DAN находим, что

sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AM}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{3}}$, cos$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{AD}{DN}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$.

Отсюда следует, что

4 cos$\displaystyle \gamma$ = 3 sin$\displaystyle \beta$ = 3 sin(180o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \gamma$) = 3 sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$) = 3 sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + 3 cos$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$.

Разделив на cos$ \gamma$ обе части уравнения

4 cos$\displaystyle \gamma$ = 3 sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + 3 cos$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$,

получим, что

3 sin$\displaystyle \alpha$ + 3 cos$\displaystyle \alpha$tg$\displaystyle \gamma$ = 4,

откуда

tg$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{4-3\sin \alpha}{3\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{4-3\sqrt{1-q^{2}}}{3q}}$.

Тогда

cos2$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{1}{1+{\rm tg }^{2} \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{9q^{2}}{9q^{2}+16-24\sqrt{1-q^{2}}+9(1-q^{2})}}$ = $\displaystyle {\frac{9q^{2}}{25-24\sqrt{1-q^{2}}}}$.

Следовательно,

SABCD = a2 = (4 cos$\displaystyle \gamma$)2 = $\displaystyle {\frac{144q^{2}}{25-24\sqrt{1-q^{2}}}}$.


Ответ

$ {\frac{144q^{2}}{25-24\sqrt{1-q^{2}}}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4133

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .