ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102509
Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 60o, а биссектриса угла C равна 5$ \sqrt{3}$. Длины сторон AC и BC относятся как 5:2 соответственно. Найдите тангенс угла A и сторону BC.


Подсказка

Пусть CD — биссектриса данного треугольника. Обозначим BC = 2t, AC = 5t. Найдите t из уравнения

S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$BCD + S$\scriptstyle \Delta$ACD


Решение

Пусть CD = 5$ \sqrt{3}$ — биссектриса данного треугольника. Обозначим BC = 2t, AC = 5t. Тогда

S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . BC . AC sin 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$t2$\displaystyle \sqrt{3}$,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$BCD + S$\scriptstyle \Delta$ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . BC . CD sin 30o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AC . CD sin 30o =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2t . 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 5t . 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 7t . 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{4}}$t$\displaystyle \sqrt{3}$.

Из уравнения $ {\frac{5}{2}}$t2$ \sqrt{3}$ = $ {\frac{35}{4}}$t$ \sqrt{3}$ находим, что t = $ {\frac{7}{2}}$. Тогда BC = 2t = 7, AC = 5t = $ {\frac{35}{2}}$.

Пусть E — проекция точки D на прямую AC. Поскольку BC < AC, то $ \angle$DAC = $ \angle$BAC < 90o, поэтому точка E лежит на стороне AC, а не на её продолжении. Тогда из прямоугольных треугольников CED и AED находим, что

DE = CD sin 30o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CD = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{2}}$ , CE = CD cos 30o = 5$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$,

 AE = AC - CE = $\displaystyle {\textstyle\frac{35}{2}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ = 10, tg$\displaystyle \angle$DAE = $\displaystyle {\frac{DE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{10}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$.


Ответ

$ {\frac{\sqrt{3}}{4}}$; 7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3932

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .