Информация о задаче

Задача 102491

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике ABCD длина стороны AD равна 4, длина стороны CD равна 7, косинус угла ADC равен ${\frac{1}{2}}$ , синус угла BCA равен ${\frac{1}{3}}$ . Найдите сторону BC, если известно, что окружность, описанная около треугольника ABC, проходит также и через точку D.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику ADC и теорему синусов к треугольнику ABC.

Решение

Поскольку cos $\angle$ ADC = ${\frac{1}{2}}$ , то $\angle$ ADC = 60^o, а т.к. четырёхугольник ABCD — вписанный, то $\angle$ ABC = 180^o - $\angle$ ADC = 120^o.

По теореме косинусов

AC = $\displaystyle \sqrt{DA^{2}+DC^{2}-2\cdot DA\cdot DC \cdot \cos \angle ADC}$ = $\displaystyle \sqrt{16+49-2\cdot 4\cdot 7\cdot \frac{1}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{37}$ .

Обозначим $\angle$ ACB = $\alpha$ . Заметим, что угол ACB — острый (т.к. угол ABC — тупой). Поэтому

cos $\displaystyle \angle$ ACB = cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1-\sin^{2} \alpha}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{BC}{\sin \angle BAC}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle ABC}}$ , или $\displaystyle {\frac{BC}{\sin (60^{\circ}-\alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ .

Отсюда находим, что

BC = $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ ^.sin(60^o - $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ ^.(sin 60^ocos $\displaystyle \alpha$ - cos 60^osin $\displaystyle \alpha$ ) =

= $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ ^. $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{3\sqrt{3}}}$ ( $\displaystyle \sqrt{24}$ - 1).

Ответ

${\frac{\sqrt{37}}{3\sqrt{3}}}$ ( $\sqrt{24}$ - 1).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3914