Информация о задаче

Задача 102486

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
Темы:	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC выполнено соотношение между сторонами ${\frac{AC - AB}{BC + AB}}$ = ${\frac{AB - BC}{AC + AB}}$ . Найдите радиус описанной окружности, если расстояние от ее центра до точки пересечения медиан равно d, а длина стороны AB равна c.

Подсказка

Пусть AC = b, AB = c, BC = a. Из условия задачи следует, что a² + b² = 2c². Пусть O — центр окружности радиуса, описанной около треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Вычислите скалярный квадрат вектора

$\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{M}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{A}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{B}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{C}$ ).

Решение

Обозначим AC = b, AB = c, BC = a.

Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{AC - AB}{BC + AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AB - BC}{AC + AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b - c}{a + c}}$ = $\displaystyle {\frac{c - a}{b + c}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ b² - c² = c² - a² $\displaystyle \Rightarrow$ a² + b² = 2c².

Пусть O — центр окружности радиуса R, описанной около треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Тогда

Обозначим

$\displaystyle \angle$ AOB = 2 $\displaystyle \gamma$ , $\displaystyle \angle$ AOC = 2 $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ BOC = 2 $\displaystyle \alpha$ .

(половина каждого из этих углов равна соответствующему углу треугольника ABC или дополняет его до 180^o). Тогда

d² = $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{M}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ( $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{A}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{B}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{C}^{2}_{}$ + 2 $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{A}$ ^. $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{B}$ + 2 $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{A}$ ^. $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{C}$ + 2 $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{B}$ ^. $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{C}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (R² + R² + R² + 2R^.R^.cos 2 $\displaystyle \gamma$ + 2R^.R^.cos 2 $\displaystyle \beta$ + 2R^.R^.cos 2 $\displaystyle \alpha$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ R²(3 + 2(cos 2 $\displaystyle \gamma$ + cos 2 $\displaystyle \beta$ + cos 2 $\displaystyle \alpha$ )) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ R²(3 + 2(1 - 2 sin² $\displaystyle \gamma$ + 1 - 2 sin² $\displaystyle \beta$ + 1 - 2 sin² $\displaystyle \alpha$ )) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ R²(9 - 4(sin² $\displaystyle \gamma$ + sin² $\displaystyle \beta$ + sin² $\displaystyle \alpha$ )) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ R² $\displaystyle \left(\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2R}\right)^{2}\right)}\right.$ 9 - 4 $\displaystyle \left(\vphantom{\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}\right.$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{2R}}\right.$ $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{2R}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{2R}}\right.$ $\displaystyle {\frac{b}{2R}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{2R}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2R}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{2R}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2R}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2R}\right)^{2}\right)}\right)$ =

= R² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a² + b² + c²) = R² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ^.3c² = R² - $\displaystyle {\frac{c^{2}}{3}}$ .

Следовательно, R² = d² + ${\frac{c^{2}}{3}}$ .

Ответ

$\sqrt{d^{2} - \frac{c^{2}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3909