Информация о задаче

Задача 102473

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Медианы AM и CN треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ BCA = $\beta$ , AC = b. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.

Подсказка

Искомое расстояние равно трети высоты треугольника ABC, проведённой из вершины B.

Решение

Пусть L и H проекции точек оответственно O и B на прямую AC, K — середина AC.

Из прямоугольных треугольников ABH и CBH находим, что AH = BHctg $\alpha$ и CH = BHctg $\beta$ . Поскольку

b = AC = AH + CH = BHctg $\displaystyle \alpha$ + BHctg $\displaystyle \beta$ = BH(ctg $\displaystyle \alpha$ + ctg $\displaystyle \beta$ ),

то BH = ${\frac{b}{{\rm ctg }\alpha + {\rm ctg }\beta}}$ .

Поскольку BK — также медиана треугольника ABC, то точка O лежит на отрезке BK и делит его в отношении 2:1, считая от точки B.

Из подобия треугольников OLK и BHK следует, что

OL = BH^. $\displaystyle {\frac{OK}{BK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle {\frac{b}{{\rm ctg }\alpha + {\rm ctg }\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{b\sin \alpha \sin \beta}{3\sin(\alpha+\beta)}}$ .

Ответ

${\frac{b\sin \alpha \sin \beta}{3\sin(\alpha+\beta)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3896