Информация о задаче

Задача 102456

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, перпендикулярны, AC = 4, $\angle$ CAB + $\angle$ DBA = 75^o. Найдите площадь четырёхугольника ABCD и сравните её с числом 2 $\sqrt{15}$ .

Подсказка

Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон четырёхугольника ABCD — ромб.

Решение

Пусть K, L, M и N середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD данного четырёхугольника. Поскольку KN — средняя линия треугольника ABD, то KN $\Vert$ BD и KN = ${\frac{1}{2}}$ BD. Аналогично LM $\Vert$ BD и LM = ${\frac{1}{2}}$ BD. Следовательно, четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а т.к. его диагонали KM и LN перпендикулярны, то это — ромб. Диагонали четырёхугольника ABCD вдвое больше сторон ромба, значит, BD = AC = 4. Острый угол между диагоналями равен 75^o (по теореме о внешнем угле треугольника). Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.BD^.sin 75^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^.4^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1).

2 $\displaystyle \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1) < 2 $\displaystyle \sqrt{15}$ $\displaystyle \Leftarrow$ ( $\displaystyle \sqrt{6}$ + $\displaystyle \sqrt{2}$ )² < ( $\displaystyle \sqrt{15}$ )² $\displaystyle \Leftarrow$

8 + 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ < 15 $\displaystyle \Leftarrow$ 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ < 7 $\displaystyle \Leftarrow$ 48 < 49.

Ответ

2 $\sqrt{2}$ ( $\sqrt{3}$ + 1) < 2 $\sqrt{15}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3879