ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102454
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырёхугольника NBMD, если основание AC = 1.


Подсказка

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.


Решение

Поскольку треугольник равнобедренный, то его медианы, проведённые к боковым сторонам, равны, т.е. AM = CN.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому CD = $ {\frac{2}{3}}$ . CN = $ {\frac{2}{3}}$ . AM = AD.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC находим, что CD = AC cos 45o = $ {\frac{\sqrt{2}}{2}}$. Тогда

DM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{4}}$.

Из прямоугольного треугольника MDC находим, что

CM = $\displaystyle \sqrt{CD^{2}+DM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{8}}$.

Значит, BC = 2 . CM = 2$ \sqrt{\frac{5}{8}}$ = $ \sqrt{\frac{5}{2}}$.

Пусть BH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина AC. Из прямоугольного треугольника BHC находим, что

BH = $\displaystyle \sqrt{BC^{2}-CH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$.

Следовательно,

tg$\displaystyle \angle$BAC = tg$\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle {\frac{BH}{CH}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}}$ = 3.

Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC, то MN = $ {\frac{1}{2}}$ . AC = $ {\frac{1}{2}}$ и MN$ \Vert$AC. Поэтому MN $ \perp$ BH.

Диагонали MN = $ {\frac{1}{2}}$ и BD = $ {\frac{2}{3}}$ . BH = 1 четырёхугольника NBMD перпендикулярны, следовательно,

SNBMD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . NM . BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.


Ответ

$ \angle$A = $ \angle$C = arctg3; $ \angle$B = $ \pi$ - 2arctg3; $ {\frac{1}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3877

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .