ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102441
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть M – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором стороны AB, AD и BC равны между собой.
Найдите угол CMD, если известно, что  DM = MC,  а  ∠CAB ≠ ∠DBA.


Решение

  Пусть  ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠BMC = α + β.
  Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит,  ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA,  то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому  CK = AD = BC,  то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,
KCM = ∠ADM = α.  Рассмотрим два случая.
  1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β.  Отсюда
180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.
  2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда  ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β.  Отсюда
180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.
  Итак, в любом случае  α + β = 60°.  Следовательно,  ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.


Ответ

120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3864

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .