ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102407
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC, площадь которого равна 2. На медианах AK, BL и CN треугольника ABC взяты соответственно точки P, Q и R так, что AP : PK = 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : RN = 5 : 4. Найдите площадь треугольника PQR.


Подсказка

Найдите отношения $ {\frac{OP}{OA}}$, $ {\frac{OQ}{OB}}$ и $ {\frac{OR}{OC}}$, где Где O — точка пересечения медиан треугольника ABC.


Решение

Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle {\frac{AO}{OK}}$ = $\displaystyle {\frac{BO}{OL}}$ = $\displaystyle {\frac{CO}{ON}}$ = 2.

Заметим, что

S$\scriptstyle \Delta$AOB = S$\scriptstyle \Delta$AOC = S$\scriptstyle \Delta$BOC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$.

Обозначим AK = 6a, BL = 6b, CN = 9c. Тогда

OP = OA - AP = 4a - 3a = aOQ = OB - BQ = 4b - 2b = 2bOR = 6c - 5c = c.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$PQR = S$\scriptstyle \Delta$POQ + S$\scriptstyle \Delta$POR + S$\scriptstyle \Delta$ROQ =

= $\displaystyle {\frac{OP}{OA}}$ . $\displaystyle {\frac{OQ}{OB}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AOB + $\displaystyle {\frac{OP}{OA}}$ . $\displaystyle {\frac{OR}{OC}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AOC + $\displaystyle {\frac{OR}{OC}}$ . $\displaystyle {\frac{OQ}{OB}}$ . S$\scriptstyle \Delta$BOC =

= $\displaystyle {\frac{a}{4a}}$ . $\displaystyle {\frac{2b}{4b}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AOB + $\displaystyle {\frac{2b}{4b}}$ . $\displaystyle {\frac{c}{6c}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AOC + $\displaystyle {\frac{c}{6c}}$ . $\displaystyle {\frac{2b}{4b}}$ . S$\scriptstyle \Delta$BOC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AOB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ . S$\scriptstyle \Delta$AOC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . S$\scriptstyle \Delta$BOC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+
\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}+
\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}+
\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}+
\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{8}+
\frac{1}{24}+
\frac{1}{12}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{24}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{8}+
\frac{1}{24}+
\frac{1}{12}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$.


Ответ

$ {\frac{1}{6}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3829

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .