Задача 102395

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  AB = a,  AC = b,  точка O – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Подсказка

Докажите, что треугольники ABD и ACB подобны.

Решение

  Пусть продолжение отрезка BD за точку D пересекает описанную окружность в точке P. Тогда точка A – середина дуги BP, не содержащей вершину C. Отсюда следует, что  ∠ABD = ∠ABP = ∠ACB  (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги). Поэтому треугольники ABD и ACB подобны по двум углам. Следовательно,  AD : AB = AB : AC,  или  AD : a = a : b,  откуда  AD = ^a²/_b  и  CD = AC – AD = b – ^a²/_b.

Ответ

b – ^a²/_b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3815