Задача 102375

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношения площадей ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции KLMN основания KN и LM равны 12 и 3 соответственно. Из точки Q, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр QP на сторону KL. Известно, что P – середина стороны KL,  PM = 4  и что площадь четырёхугольника PLMQ в четыре раза меньше площади четырёхугольника PKNQ.
Найдите длину отрезка PN.

Подсказка

Если MA и NB – высоты треугольников LMP и NKP, то прямоугольные треугольники MAP и NBP подобны с коэффициентом ¼.

Решение

Поскольку P – середина KL, то высоты треугольников PLM и PKN, опущенные из вершины P, равны. Поэтому   S_PLM : S_PKN = LM : KN = 1 : 4,  а так как при этом S_PLMQ : S_PKNQ = 1 : 4,  то  S_MPQ : S_NPQ = 1 : 4.  Поэтому  MQ : QN = 1 : 4.  Пусть MA и NB – высоты треугольников LMP и NKP. Так как  LP = PK,  то  AM : BN = 1 : 4.  По теореме о пропорциональных отрезках  AP : PB = MQ : QN = 1 : 4,  поэтому прямоугольные треугольники MAP и NBP подобны. Следовательно,  MP : PN = 1 : 4,  откуда  PN = 4PM = 16.

Ответ

16.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3608