Информация о задаче

Задача 102371

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике KLM отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 3. Вписанная окружность касается сторон треугольника KLM в точках A, B и C. Найдите отношение площади треугольника KLM к площади треугольника ABC.

Подсказка

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник KLM. Тогда точка O лежит внутри треугольника ABC и

S_ABC = S_BOC + S_AOC + S_AOB.

Далее примените теорему синусов и формулы для площади треугольника.

Решение

Пусть вершины A, B и C треугольника ABC лежат соответственно на сторонах ML, KM и KL треугольника KLM; O — центр окружности радиуса r, вписанной в треугольник KLM, R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Обозначим

ML = a, KM = b, KL = c, $\displaystyle \angle$ LKM = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ KLM = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ LMK = $\displaystyle \gamma$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ BAC = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ < 90^o, $\displaystyle \angle$ ABC = 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ < 90^o, $\displaystyle \angle$ ACB = 90^o - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ < 90^o.

Поскольку все углы треугольника ABC — острые, то центр O окружности, описанной около треугольника ABC, лежит внутри этого треугольника. Поэтому

S_ABC = S_BOC + S_AOC + S_AOB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.OB^.OC^.sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ ) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.OA^.OC^.sin(180^o - $\displaystyle \beta$ ) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.OA^.OB^.sin(180^o - $\displaystyle \gamma$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (r^.r^.sin $\displaystyle \alpha$ + r^.r^.sin $\displaystyle \beta$ + r^.r^.sin $\displaystyle \gamma$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ r²(sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ ).

Поскольку

S_KLM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.KL^.KM^.sin $\displaystyle \angle$ LKM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc sin $\displaystyle \alpha$ ,

то

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta KLM}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}r^{2}(\sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma)}{\frac{1}{2}bc \sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{r^{2}}{bc}}$ ^. $\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}+\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}$ + $\displaystyle {\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}+\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}}\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{r^{2}}{bc}}$ ^. $\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{r^{2}(a+b+c)}{abc}}$ .

Поскольку

S_KLM = $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$ ^.r и S_KLM = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ ,

то

a + b + c = $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta KLM}}{r}}$ , и abc = 4S_KLM^.R.

Значит,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta KLM}}}$ = $\displaystyle {\frac{r^{2}\cdot \frac{2S_{\Delta KLM}}{r}}{S_{\Delta KLM}\cdot 4R}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ .

Следовательно, ${\frac{S_{\Delta KLM}}{S_{\Delta ABC}}}$ = 6.

Ответ

6.00

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3801