Информация о задаче

Задача 102347

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, $\angle$ BAC = 45^o. Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N, AM = 2^.MC, $\angle$ NMC = 60^o. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади четырёхугольника ABNM.

Подсказка

Обозначьте MC = a и, применив теорему синусов, выразите через a отрезок CN из треугольника CMN.

Решение

Обозначим MC = a. Тогда AC = 3a, BC = ${\frac{3a}{\sqrt{2}}}$ . По теореме синусов из треугольника MCN находим, что

CN = MC^. $\displaystyle {\frac{\sin \angle NMC}{\sin \angle CNM}}$ = a^. $\displaystyle {\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}}$ = $\displaystyle {\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$ .

Тогда

S_MNC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CM^.CN^.sin 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a^. $\displaystyle {\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}}$ ,

S_ABNM = S_ABC - S_MNC = $\displaystyle {\frac{9a^{2}}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(6+\sqrt{3})}{4}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MNC}}{S_{ABNM}}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}}$ : $\displaystyle {\frac{a^{2}(6+\sqrt{3})}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{3-\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{7-3\sqrt{3}}{11}}$ .

Ответ

${\frac{7-3\sqrt{3}}{11}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3775