Информация о задаче

Задача 102322

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь четырёхугольника PQRS равна 48. Известно, что PQ = QR = 6, RS = SP и ровно три вершины P, Q и R лежат на окружности радиуса 5. Найдите стороны RS и SP.

Подсказка

Пусть QD — диаметр окружности. Тогда S_PQRD = 48 = S_PQRS. Используя этот факт, докажите что точки Q и S лежат по одну сторону от прямой RP.

Решение

Поскольку PQ = QR и RS = SP, то точки Q и S лежат на серединном перпендикуляре к отрезку PR. Поэтому прямая QS проходит через центр данной окружности. Рассмотрим случай, когда точки Q и S лежат по разные стороны от прямой RP (рис.1). Если QD — диаметр окружности, то $\angle$ QRS = 90^o. Поэтому

DR = $\displaystyle \sqrt{QD^{2}-QR^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100-36}$ = 8.

В этом случае

S_PQRD = 2^.S_QRD = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.QR^.RD = 48 = S_PQRS.

Это значит, что точка S совпадает с точкой D, что невозможно, поскольку по условию задачи ровно три вершины четырёхугольника PQRS лежат на данной окружности. Остаётся случай, когда точки Q и S лежат по одну сторону от прямой RP (рис.2). Пусть E — середина PR. Поскольку треугольник PQR вписан в окружность радиуса 5, то

sin $\displaystyle \angle$ QRP = $\displaystyle {\frac{QP}{2\cdot 5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ,

поэтому

QE = QR^.sin $\displaystyle \angle$ QRP = 6^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{18}{5}}$ , ER = QR^.cos $\displaystyle \angle$ QRP = 6^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{5}}$ ,

а т.к. S_PQRS = ${\frac{1}{2}}$ ^.SQ^.PR, то

SQ = 2^. $\displaystyle {\frac{S_{PQRS}}{2\cdot ER}}$ = 2^. $\displaystyle {\frac{48}{\frac{48}{5}}}$ = 10.

По теореме косинусов из треугольника SQR находим, что

SR² = SQ² + QR² - 2^.SQ^.QR^.cos $\displaystyle \angle$ SQR = 100 + 36 - 120^.cos(90^o + $\displaystyle \angle$ QRP) =

= 136 + 120^.sin $\displaystyle \angle$ QRP = 136 + 120^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = 136 + 72 = 208.

Следовательно, SR = $\sqrt{208}$ = 4 $\sqrt{13}$ .

Ответ

4 $\sqrt{13}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3749