Информация о задаче

Задача 102268

Темы:	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На координатной плоскости (x;y) проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением y = 4 - (2 - $\sqrt{3}$ )x, пересекает её в точках A и B. Найдите сумму длин отрезка AB и меньшей дуги AB.

Подсказка

Решив систему уравнений, найдите координаты точек пересечения прямой и окружности. Затем, применив теореме косинусов, найдите угол между радиусами окружности, проведёнными в найденные точки пересечения.

Решение

Решив систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2}+y^{2} = 16\\ y = 4-(2-\sqrt{3})x, \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2}+y^{2} = 16\\ y = 4-(2-\sqrt{3})x, \\ \end{array}$

найдём координаты точек пересечения прямой и окружности: A(0;4), B(2;2 $\sqrt{3}$ ). Тогда AB = $\sqrt{(0-2)^{2} + (4-2\sqrt{3})^{2}}$ = $\sqrt{32-16\sqrt{3}}$ = 4 $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ . Пусть O — начало координат. По теореме косинусов из треугольника AOB находим, что cos $\angle$ AOB = ${\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}}$ = ${\frac{16+16-32+16\sqrt{3}}{2\cdot 4\cdot 4}}$ = ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ . Поэтому градусная мера меньшей дуги AB равна 30^o. Длина этой дуги равна одной двенадцатой длины окружности радиуса 4, т.е. ${\frac{2\pi }{3}}$ . Следовательно, искомая сумма равна ${\frac{2\pi }{3}}$ + 4 $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

Ответ

$\frac{2\pi }{3}+ 4\sqrt{2-\sqrt{3}}$ --> ${\frac{2\pi }{3}}$ + 4 $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3695