|
|
 |
Условие
В треугольнике PQR точка T лежит на стороне PR, ∠QTR = ∠PQR, PT = 8, TR = 1.
Найдите а) сторону QR; б) угол QRP, если радиус описанной окружности треугольника PQT равен 3.
Подсказка
Треугольники QTR и PQR подобны, а прямая RQ – касательная к описанной окружности треугольника PQT.
Решение
Треугольники QTR и PQR подобны по двум углам, поэтому QR : PR = TR : QR, откуда QR² = PR·TR = 9. Поскольку ∠TQR = ∠QPR, то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая RQ – касательная к описанной окружности треугольника PQT. Поэтому OQ ⊥ RQ (O – центр окружности). tg∠ORQ = OQ/QR = , поэтому ∠ORQ = π/3 и OR = 2QR = 6.
Пусть S – основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности на хорду PT. Тогда S – середина PT. Из прямоугольного треугольника OSR находим, что cos∠ORS = RS/OR = ⅚. Следовательно, ∠QRP = π/3 ± arccos ⅚ (точки P и Q могут лежать как по одну сторону от прямой OR, так и по разные).
Ответ
а) 3; б) π/3 ± arccos ⅚.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3674 |
