ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102241
Темы:    [ Признаки подобия ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На одной стороне угла O взяты точки K, L, M, а на другой – точки P, Q, R так, что  KQPR,  PLKM,  LRPQ,  QMKL.  Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника KPRM окружности до точки O к длине отрезка KP равно 17/6. Найдите величину угла O.


Подсказка

Четырёхугольник KPRM – равнобедренная трапеция.


Решение

  Пусть искомый угол равен α. Из прямоугольных треугольников OMQ, OKQ, ORL и OLP находим, что     откуда  OK : OM = OP : OR,  поэтому треугольники OKP и OMR подобны. Значит,  KP || MR,  и вписанный четырёхугольник KPRM – равнобедренная трапеция. Поскольку треугольники OKP и OMR – равнобедренные, то центр T указанной окружности лежит на биссектрисе данного угла.
  Обозначим  KP = x.  Пусть A – проекция точки T на хорду PR. Тогда A – середина PR, поэтому    
  По условию  OT/KP = 17/6.  Из уравнения     находим, что  sin α = ⅓.


Ответ

arcsin 1/3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3668

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .