Задача 102240

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM=BN . Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC , а через точку N — прямая перпендикулярная AB . Эти прямые пересекаются в точке O . Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP=5 и PC=4 . Найдите длину отрезка BP , если известно, что BC=6 .

Решение

Высоты треугольника BMN , проведённые из вершин M и N , пересекаются в точке O , значит, его высота, проведённая из вершины B , также проходит через точку O , а т.к. треугольник BMN равнобедренный, то луч BO — биссектриса угла MBN , а BP — биссектриса треугольника ABC . По свойству биссектрисы треугольника = , откуда находим, что

AB===.

По формуле для биссектрисы треугольника
BP2=BC· AB -CP· AP = 6· - 4· 5 = 45-20=25.
Следовательно, BP=5 .

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3667