Информация о задаче

Задача 102225

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен $\alpha$ . В треугольник помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.

Подсказка

Выразите гипотенузу через искомый радиус и данный угол.

Решение

Пусть окружности радиусов r с центрами O₁ и O₂ касаются гипотенузы AB соответственно в точках M и N и при этом $\angle$ BAC = $\alpha$ . Если окружность с центром O₁ вписана в угол BAC, то AM = O₁M $\ctg$ $\angle$ MAO₁ = r $\ctg$ ${\frac{\alpha}{2}}$ . Аналогично находим, что BN = r $\ctg$ $\left(\vphantom{\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}\right.$ ${\frac{\pi}{4}}$ - ${\frac{\alpha}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}\right)$ . Поскольку c = AB = AM + MN + NB и MN = O₁O₂ = 2r, то имеем уравнение

r $\displaystyle \ctg$ $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + 2r + r $\displaystyle \ctg$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}\right)$ = c,

откуда находим, что r = ${\frac{c}{2+\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)}}$ .

Ответ

${\frac{c}{2+\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3664