Информация о задаче

Задача 102221

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны между собой, AC = 2, а $\angle$ ACB = 30^o. Из вершины A к боковой стороне BC проведены биссектриса AE и медиана AD. Найдите площадь треугольника ADE.

Подсказка

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

Пусть BH — высота данного треугольника, M — проекция точки D на основание. Тогда

BH = HC $\displaystyle \tg$ $\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ , AB = BC = 2BH = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ , S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BH = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{BE}{EC}}$ = ${\frac{AB}{AC}}$ = ${\frac{\sqrt{3}}{3}}$ , поэтому

$\displaystyle {\frac{BE}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}+1}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$ ,

а т.к. BC = 2BD, то ${\frac{BE}{BD}}$ = $\sqrt{3}$ - 1. Следовательно,

S_ABE = $\displaystyle {\frac{BE}{BD}}$ ^.S_ABD = $\displaystyle {\frac{BE}{BD}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABC = ( $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1)^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ = $\displaystyle {\frac{3-\sqrt{3}}{6}}$ ,

S_ADE = S_ABD - S_ABE = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{3-\sqrt{3}}{6}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}-3}{6}}$ .

Ответ

${\frac{2\sqrt{3}-3}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3660