Информация о задаче

Задача 102220

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.

Подсказка

Если M— точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AB, а p — полупериметр треугольника, то AM = p - BC.

Решение

Ответ

${\frac{\sqrt{5}}{2}}$ . Пусть M — точка касания вписанной окружности с гипотенузой AB данного прямоугольного треугольника ABC, BC = 4, AC = 3. O — середина гипотенузы (центр описанной окружности), Q — центр вписанной окружности, r — её радиус, p — полупериметр треугольника. Тогда

AB = $\displaystyle \sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5, r = $\displaystyle {\frac{3+4-5}{2}}$ = 1, AM = p - BC = 6 - 4 = 2,

OM = AO - AM = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ - 2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника OMQ находим, что

OQ = $\displaystyle \sqrt{OM^{2}+QM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3659