Информация о задаче

Задача 102217

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до точек пересечения с описанной около треугольника окружностью, отличных от вершин исходного треугольника. В результате попарного соединения этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30^o, 60^o и 90^o, а его площадь равна 2. Найдите площадь нового треугольника.

Подсказка

Применяя теорему о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу, найдите углы нового треугольника.

Решение

Пусть биссектрисы углов $\angle$ A = 60^o, $\angle$ B = 30^o и $\angle$ C = 90^o пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. По теореме о вписанных углах

$\displaystyle \angle$ CC₁A₁ = $\displaystyle \angle$ CAA₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A = 30^o, $\displaystyle \angle$ CC₁B₁ = $\displaystyle \angle$ CBB₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B = 15^o,

поэтому

$\displaystyle \angle$ A₁C₁B₁ = $\displaystyle \angle$ CC₁A₁ + $\displaystyle \angle$ CC₁B₁ = 30^o + 15^o = 45^o.

Аналогично находим, что $\angle$ B₁A₁C₁ = 60^o и $\angle$ A₁B₁C₁ = 75^o. Пусть R — радиус окружности. Тогда

AB = 2R, AC = R, BC = R $\displaystyle \sqrt{3}$ , S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BC = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}$ = 2,

откуда находим, что R² = ${\frac{4}{\sqrt{3}}}$ . По теореме синусов

A₁C₁ = 2R sin 75^o, B₁C₁ = 2R sin 60^o,

следовательно,

S_A₁B₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ A₁C₁^.B₁C₁sin 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin 75^{o .}2R sin 60^{o .}sin 45^o = 2R^{2 .} $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 1 + $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

1 + $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3656