Информация о задаче

Задача 102211

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите радиус окружности, если $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ и площадь треугольника ABC равна S.

Подсказка

Пусть D — точка пересечения данной окружности со стороной BC. Зная площадь треугольника ABC, найдите AB с помощью теоремы синусов. Затем докажите, что $\angle$ ADB = 180^o - $\alpha$ .

Решение

Пусть D — точка пересечения данной окружности с прямой BC. Обозначим AB = c, BC = a. Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, получим пропорцию

$\displaystyle {\frac{a}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin (180^{\circ}-\alpha-\beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin (\alpha+\beta)}}$ ,

откуда a = ${\frac{c\sin \alpha}{\sin (\alpha+\beta)}}$ . Тогда

S = S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ac sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{c^{2}\sin \alpha \sin \beta}{2\sin (\alpha+\beta)}}$ ,

откуда находим, что c = $\sqrt{\frac{2S\sin(\alpha+\beta)}{\sin \alpha\sin \beta}}$ . По теореме об угле между касательной и хордой находим, что либо $\angle$ ADB = $\angle$ BAC = $\alpha$ (рис.1), либо $\angle$ ADB = 180^o - $\angle$ BAC = 180^o - $\alpha$ (рис.2). В обоих случаях sin $\angle$ ADB = sin $\alpha$ . Пусть R — искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABD. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{AB}{2\sin \angle ADB}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{2\sin \alpha}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{S\sin(\alpha+\beta)}{2\sin^{3} \alpha \sin \beta}}$ .

Ответ

$\sqrt{\frac{S\sin(\alpha+\beta)}{2\sin^{3} \alpha\sin \beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3650