Задача 102209

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Формула Герона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник ABC со сторонами  AB = 6,  BC = 5,  AC = 7  вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

Решение

  Пусть вершины P и S квадрата PQRS лежат на стороне AC, O – центр квадрата, F – точка пересечения BD и QR. Из подобия треугольников QBR и ABC следует, что F – середина QR.
  Пусть прямая FO пересекает AC в точке E. Тогда  FE || BH,  а так как O – середина FE, то M – середина высоты BH.

  Высота MH треугольника DMC вдвое меньше высоты BH треугольника ABC, основание DC – вдвое меньше основания AC, поэтому  S_DMC = ¼ S_ABC.
  По формуле Герона  
  Следовательно,  S_DMC =  .

Ответ

 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3648